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문제:

P[0], P[1], ....,P[N-1]은 0부터 N-1까지(포함)의 수를 한 번씩 포함하고 있는 수열이다. 수열 P의 길이가 N인 배열 A에 적용하면 길이가 N인 배열 B가 된다. 적용하는 방법은 B[P[i]]=A[i]이다.

배열 A가 주어졌을 때, 수열 P를 적용한 결과가 비내림차순이 되는 수열을 찾는 프로그램을 작성하시오. 비내림차순이란, 각각의 원소가 바로 앞에 있는 원소보다 크거나 같을 경우를 말한다. 만약 그러한 수열이 여러개라면 사전순으로 앞서는 것을 출력한다.

입력:

첫째 줄에 배열 A의 크기 N이 주어진다. 둘째 줄에는 배열 A의 원소가 0번부터 차례대로 주어진다. N은 50보다 작거나 같은 자연수이고, 배열의 원소는 1,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력:

첫째 줄에 비내림차순으로 만드는 수열 P를 출력한다.

풀이 방법:

배열 A를 입력으로 받은 뒤에 이를 복사한 B 배열을 만든다. B 배열을 정렬하고 나서 각각 A의 배열의 원소에 대해 B에서 인덱스를 찾으면 된다.

하지만 이 중에 유의할 점은 배열 A의 원소에 공통의 값이 들어 있을 수 있다. 따라서 이를 해결해주기 위해서 count라는 변수를 만들어 주었다. 이 count는 공동 순위를 제어해 주는 변수이다.

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g=int(input())
a=list(map(int,input().split()))
b=a.copy()
b.sort()
answer=[]
for i in a:
    count=0
    while(1):
        if b.index(i)+count in answer:
            count+=1
        else:
            break
    answer.append(b.index(i)+count)
print(*answer)
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문제:

세준이는 컵 3개를 탁자 위에 일렬로 놓았다. 컵의 번호는 가장 왼쪽 컵부터 순서대로 1번, 2번, 3번 이고, 세준이는 이 컵을 이용해서 게임을 하려고 한다.

먼저 1번컵의 아래에 공을 하나 넣는다. 세준이는 두 컵을 고른 다음, 그 위치를 바꾸려고 한다. 예를 들어, 고른 컵이 1번과 2번이라면, 1번 컵이 있던 위치에 2번 컵을 이동시키고, 동시에 2번 컵이 있던 위치에 1번 컵을 이동시켜야 한다. 위치를 바꿀 때, 컵을 먼저 들고 이동해야 한다. 따라서, 공의 위치는 가장 처음 1번컵이 있던 위치와 같다.

세준이는 컵의 위치를 총 M번 바꿀 것이며, 컵의 위치를 바꾼 방법이 입력으로 주어진다. 위치를 M번 바꾼 이후에 공이 들어있는 컵의 번호를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력:

첫째 줄에 컵의 위치를 바꾼 횟수 M이 주어지며, M은 50보다 작거나 같은 자연수이다. 둘째 줄부터 M개의 줄에는 컵의 위치를 바꾼 방법 X와 Y가 주어지며, X번 컵과 Y번 컵의 위치를 서로 바꾸는 것을 의미한다.

컵을 이동시키는 중에 공이 컵에서 빠져나오는 경우는 없다. X와 Y의 값은 3보다 작거나 같고, X와 Y가 같을 수도 있다.

출력:

첫째 줄에 공이 들어있는 컵의 번호를 출력한다. 공이 사라져서 컵 밑에 없는 경우에는 -1을 출력한다.

풀이 방법:

모든 컵의 이동을 기억할 필요없이 공이 들어 있는 컵의 번호만 기억해주면 된다. 처음 공의 위치를 항상 1이며 이후 컵의 위치를 바꾼 방법 중 공의 위치의 번호가 있다면 이를 바꿔 주기만 하면 된다.

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answer=1
for i in range(int(input())):
    a,b=map(int,input().split())
    if answer==a:
        answer=b
    elif answer==b:
        answer=a
print(answer)
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문제:

이제 10 살이 된 헨리(Henry)는 수학에 소질이 있다. 수학선생님인 아메스(Ahmes)는 오늘 헨리에게 분수에 대해 가르쳐줬고, 헨리는 분수를 이리저리 계산해보는 것이 너무 재미있었다. 그러던 중에 헨리는 1 보다 작은 분수를 여러 개의 서로 다른 단위분수의 합으로 표현할 수 있다는 것을 알아내었다. 여기서 단위분수란 분자가 1 인 분수를 말한다. 헨리는 여러 개의 분수에 대해 이를 시도해봤고, 시도해본 분수들은 모두 서로 다른 단위분수의 합으로 표현할 수 있었다. 예를 들어, $\frac{4}{23}$ 은 $\frac{1}{6} + \frac{1}{138}$ 와 같이 두 개의 단위 분수의 합으로 나타낼 수 있다.

헨리는 이런 발견을 선생님인 아메스에게 자랑스럽게 이야기했다. 아메스는 이를 듣고는 크게 기뻐하며 어린 제자를 칭찬했고, 이와 같이 하나의 분수를 서로 다른 단위분수의 합으로 표현한 것을 헨리식 표현법(Henry representation)이라고 이름 지었다. 즉, 분수 $\frac{a}{b}$ 의 헨리식 표현법은 총합이 $\frac{a}{b}$ 와 같게 되는 서로 다른 단위분수의 나열이다. 헨리와 아메스는 헨리식 표현법에 대하여 더욱 연구하였고, 마침내 모든 1 보다 작은 분수는 헨리식 표현법이 가능함을 증명하였다. 또한 헨리식 표현법이 유일하지 않다는 것도 알 수 있었다. 예를 들면, $\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{70} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21} = \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14}$ 와 같이 여러 가지 다른 헨리식 표현법이 존재할 수 있다. 단, 정의에 의해, 헨리식 표현법에는 같은 단위분수가 두 개 이상 포함될 수 없으므로 $\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ 는 헨리식 표현법이 아님을 유념해야 한다.

아메스와 헨리는 또한 주어진 분수의 헨리식 표현법을 구하는 간단한 방법도 고안해냈다. $a < b$ 인 양의 정수 $a$ 와 $b$ 로 이루어진 분수 $\frac{a}{b}$ 가 주어질 때에, 먼저 $\frac{1}{x_{1}} \leq \frac{a}{b}$ 를 만족하는 가장 큰 단위 분수 $\frac{1}{x_{1}}$ 를 계산한다. 그런 다음 $\frac{a}{b}$ 에서 $\frac{1}{x_{1}}$ 를 뺀 나머지에 대하여 위의 과정을 반복한다. 즉, $\frac{1}{x_{2}} \leq \frac{a}{b} - \frac{1}{x_{1}}$ 를 만족하는 가장 큰 단위분수 $\frac{1}{x_{2}}$ 를 계산하고 뺀다. 이러한 과정을 나머지가 남지 않을 때까지 반복한다. 그러면 서로 다른 단위분수들 $\frac{1}{x_{1}}, \frac{1}{x_{2}}, \frac{1}{x_{3}}, \dots$ 을 순서대로 얻게 되며 그들의 합은 정확히 $\frac{a}{b}$ 와 같아진다. 아메스와 헨리는 이 알고리즘이 항상 종료하며 합이 $\frac{a}{b}$ 가 되는 서로 다른 단위분수들, 즉 헨리식 표현법을 출력함을 증명하였다.

아메스와 헨리는 당신에게 그들의 알고리즘을 컴퓨터 프로그램으로 구현해줄 것을 부탁했다. 입력으로 주어지는 1 보다 작은 분수 $\frac{a}{b}$ 를 아메스와 헨리의 알고리즘을 수행하여 헨리식 표현법을 계산할 때에 마지막 단위 분수의 분모를 출력하는 프로그램을 작성하시오. 예를 들어. $\frac{a}{b} = \frac{5}{7}$ 라면, 아메스와 헨리의 알고리즘은 $\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{70}$ 을 출력하게 되므로 당신의 프로그램은 반드시 70 을 출력해야 한다.

입력:

입력 데이터는 표준입력을 사용한다. 입력은 T 개의 테스트 데이터로 구성된다. 입력의 첫 번째 줄에는 테스트 데이터의 개수 T 가 정수로 주어진다. 각 테스트 데이터는 한 줄로 구성되며, 여기에는 입력 분수

\frac{a}{b}

를 의미하는 두 개의 정수

a

와

b

(1 ≤

a

<

b

≤ 10,000) 가 주어진다. 이때,

a

와

b

는 서로소이며, 입력분수

\frac{a}{b}

에 대해 아메스와 헨리의 알고리즘을 실행했을 때에 출력되는 단위 분수가 순서대로

\frac{1}{x_{1}}, \frac{1}{x_{2}}, \frac{1}{x_{3}}, \dots, \frac{1}{x_{m}}

라면,

b x_{1} x_{2} \dots x_{m - 1} < 2^{31}

의 부등식을 만족한다고 가정할 수 있다.

출력:

출력은 표준출력을 사용한다. 각 테스트 데이터에 대해, 정확히 한 줄을 출력해야 하며 여기에는 정수 하나만을 출력한다. 이 정수는 아메스와 헨리의 알고리즘을 입력 분수 $\frac{a}{b}$ 에 대해 실행했을 때, 출력되는 헨리식 표현법의 마지막 단위분수의 분모와 같아야 한다.

풀이 방법:

가장 큰 1/x를 구하기 위해서는 원래 분수에서 분자를 1로 만들었을 때에 생기는 분모의 값을 올림해주면 된다. (분수의 경우에 분모가 작을수록 크다.)

따라서 (a/b-1/x1-1/x2- .... )의 분자가 1이 될 때까지 while로 반복하도록 한다. 또한 새 분수를 만들고 나서 약분하는 작업이 필요하므로 분수 계산을 도와주는 모듈인 fraction을 사용하도록 한다.

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from fractions import Fraction
for i in range(int(input())):
    a,b=map(int,input().split())
    while(a!=1):
        c=b//a+1
        a=a*c-b
        b=b*c
        a,b=map(int,str(Fraction(a,b)).split('/'))
    print(b)
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문제:

상근이는 창고에서 링 N개를 발견했다. 상근이는 각각의 링이 앞에 있는 링과 뒤에 있는 링과 접하도록 바닥에 내려놓았다.

상근이는 첫 번째 링을 돌리기 시작했고, 나머지 링도 같이 돌아간다는 사실을 발견했다. 나머지 링은 첫 번째 링보다 빠르게 돌아가기도 했고, 느리게 돌아가기도 했다. 이렇게 링을 돌리다 보니 첫 번째 링을 한 바퀴 돌리면, 나머지 링은 몇 바퀴 도는지 궁금해졌다.

링의 반지름이 주어진다. 이때, 첫 번째 링을 한 바퀴 돌리면, 나머지 링은 몇 바퀴 돌아가는지 구하는 프로그램을 작성하시오,

입력:

첫째 줄에 링의 개수 N이 주어진다. (3<=N<=100)

다음 줄에는 링의 반지름이 상근이가 바닥에 놓은 순서대로 주어진다. 반지름은 1과 1000을 포함하는 사이의 자연수이다.

출력:

출력은 총 N-1 줄을 해야 한다. 첫 번째 링을 제외한 각각의 링에 대해서, 첫 번째 링을 한 바퀴 돌리면 그 링은 몇 바퀴 도는지 기약 분수 형태 A/B로 출력한다.

풀이 방법:

모든 링은 첫 번째 링의 크기에 따라서 돌아가는 횟수가 정해지게 된다. 예제의 경우로 보면 첫 번째 링이 12이므로 두 번째 링은 12/3 인 4이고, 세 번째 링은 12/8=3/2, 마지막 링은 12/4 이므로 3이 되게 된다.

python에서는 이러한 분수 약분 및 계산을 해주는 fraction이라는 모듈이 있다. 따라서 첫 번째 링을 기준으로 나머지 링에 대해 분수형태로 만들면 된다. 하지만 정수인 경우에도 분수 형태로 만들어 줘야 하는 작업이 필요하므로, 따로 분류해서 만들어주도록 한다.

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from fractions import Fraction
a=int(input())
number=list(map(int,input().split()))
for i in range(1,len(number)):
    result=Fraction(number[0],number[i])
    if int(result)==result:
        print(str(result)+"/"+"1")
    else:
        print(str(result))
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문제:

n개의 원소 중에서 k개를 순서 없이 선택하는 방법의 수는 몇 가지 일까?

입력:

입력은 하나 또는 그 이상의 테스트 케이스로 이루어져 있다.

각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있으며, 2^31 -1 을 넘지 않는 두 자연수 n (n>=1) 과 k(0<=k<=n)로 이루어져 있다.

입력의 마지막 줄에는 0이 두 개 주어진다.

출력:

각 테스트 케이스에 대해서, 정답을 출력한다. 항상 정답이 2^31보다 작은 경우만 입력으로 주어진다.

풀이 방법:

일반적으로 nCk 를 구하는 문제와 동일하긴 하지만 n과 k의 크기가 많이 크므로 이를 정제하는 작업이 필요하다. 이전 문제에서 nCk를 구할 때 n!/k!*(n-k)!을 통해서 값을 얻는다고 하지만 실제로 사람이 계산할 때는 그렇게 하지 않는다. 10C4가 있다면 10!/4!6!을 통해서 계산을 해야겠지만 사람이라면 약분을 해서 10*9*8*7/4! 으로 구하게 된다. 따라서 이 문제도 약분을 통해서 간략화해야 한다. 또한 nCk=nCn-k와 동일하다는 공식도 존재하므로 k가 일정 값을 넘어가면 이를 통해서 k의 크기를 줄이도록 했다.

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while(True):
    m,n=map(int,input().split())
    if m==0 and n==0:
        break
    if m-n<n:
        n=m-n
    answer=1
    for i in range(1,n+1):
        answer*=m
        m-=1
        answer/=i
    print(int(answer))
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문제:

nCm 을 출력한다.

입력:

n과 m이 주어진다. (5<=n<=100,5<=m<100, m<=n)

출력:

nCm을 출력한다.

풀이 방법:

수학 공식으로 (n k)는 n!/k!(n-k)!과 같다. 따라서 math 모듈에 있는 factorial 함수를 이용해서 계산 하였다.

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import math
n,m=map(int,input().split())
print(math.factorial(n)//(math.factorial(m)*math.factorial(n-m)))
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문제:

N!에서 뒤에서부터 처음 0이 아닌 숫자가 나올 때까지 0의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력:

첫째 줄에 N이 주어진다. (0<=N<=500)

출력:

첫째 줄에 구한 0의 개수를 출력한다.

풀이 방법:

뒷자리에 0이 생기기 위해서는 10을 곱해야 한다. 따라서 N! 중에서 0이 생기는 경우는 크게 두가지가 있다.

1. 10을 곱하는 경우

2. 5의 배수를 곱하는 경우

1번의 경우에는 0이 생기는 것이 자명하므로 설명을 생략한다. 2번의 경우에는 5의 배수의 값과 짝수를 곱하면 10이 생기게 된다. (2 x 5= 10)

즉 이 두경우를 합쳐서 1<=i <=N 인 i에 대해서 5로 나누어떨어질 경우 count를 1 더해주면 된다. 하지만 이 중에는 25와 같이 5의 배수가 두개인 경우도 있으므로 while문을 사용하도록 한다.

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a=int(input())
answer=0
for i in range(1,a+1):
    while True:
        if i%5==0:
            answer+=1
            i/=5
        else:
            break
print(answer)
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문제:

자연수 N과 정수 K가 주어졌을 때 이항 계수 (N, K)를 10,007로 나눈 나머지를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력:

첫째 줄에 N과 K가 주어진다. (1<=N<=1,000, 0<=K<=N)

출력:

(N, K)를 10,007로 나눈 나머지를 출력한다.

풀이 방법:

N의 크기가 커짐에 따라서 더 이상 이항계수 문제를 재귀적방법으로 해결할 수 없다. 일반적으로 재귀함수가 가독성이 좋긴 하지만 동일한 함수를 자주 호출하다보니 N이 커질수록 stack overflow가 발생할 수 있다. 따라서 이를 해결하는 방법으로 dp (메모리제이션) 을 사용한다. 작은 값의 함수들 부터 배열에 값을 저장하면서 원하는 값까지 진행을 하는 방식이다.

따라서 이항계수1 문제와 풀이는 비슷하나 함수를 호출하는 것이 아닌 배열의 값을 호출한다는 차이가 있다.

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a,b=map(int,input().split())
def bin2(n,k):
    b=[[0 for i in range(k+1)] for j in range(n+1)]
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(min(n,k)+1):
            if (j==0 or j==i):
                b[i][j]=1
            else:
                b[i][j]=b[i-1][j-1]+b[i-1][j]
    return b[n][k]%10007
print(bin2(a,b))
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문제:

자연수 N과 정수 K가 주어졌을 때 이항 계수 (N K) 를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력:

첫째 줄에 N과 K가 주어진다. (1<= N <=10, 0<=K <=N)

출력:

(N K)를 출력한다.

풀이 방법:

이 문제는 이항 계수를 재귀함수로 구현을 해서 풀어야 하는 문제 였다. 파스칼의 법칙에 의해서 이항계수는 다음과 같은 공식을 가진다.

C(n ,k) =C(n-1,k-1)+C(n-1,k)

따라서 이를 general case, 즉 크기가 감소되는 케이스로 분류를 한다. 또한 이항계수는 C(n,0) ,C(n,n)일 때 항상 1이라는 값을 가진다. 따라서 이 경우는 base case로 재귀가 끝나는 경우로 분류를 한다.

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a,b=map(int,input().split())
 
def binomial(n,k):
    if n==k:
        return 1
    elif k==0:
        return 1
    else:
        return binomial(n-1,k-1)+binomial(n-1,k)
    
print(binomial(a,b))
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문제:

조세퍼스 문제는 다음과 같다.

1번부터 N번까지 N명의 사람이 원을 이루면서 앉아있고, 양의 정수 K(<=N)가 주어진다. 이제 순서대로 K번째 사람을 제거한다. 한 사람이 제거되면 남은 사람들로 이루어진 원을 따라 이 과정을 계속해 나간다. 이 과정은 N명의 사람이 모두 제거될 때까지 계속된다. 원에서 사람들이 제거되는 순서를 (N,K)-조세퍼스 순열이라고 한다. 예를 들어 (7,3)-조세퍼스 순열은 <3, 6, 2, 7, 5, 1, 4> 이다.

N과 K가 주어지면 (N, K)-조세퍼스 순열을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력:

첫째 줄에 N과 K가 빈 칸을 사이에 두고 순서대로 주어진다. (1<=K<=N<=1,000)

출력:

예제와 같이 조세퍼스 순열을 출력한다.

풀이 방법:

값을 빼기 전에 미리 idx를 저장을 해두는 것이 중요하다. 값을 먼저 빼버리면 다음 순환 반복을 못하기 때문이다. 또한 빼준 다음에는 idx 를 1 감소해서 인덱스가 하나 줄었음을 나타낸다. 또한 값을 뺄 당시에 출력 예시와 동일하게 만들어야 하므로 끝 값에만 따로 케이스를 분류를 해두었다.

이 문제는 태그가 큐로 되어 있었는데 아마도 순환 큐를 이용해서 풀어야 하는 문제인 것 같다.

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a,b=map(int,input().split())
answer=list(range(1,a+1))
idx=-1
print("<",end="")
while(len(answer)!=0):
    idx+=b
    idx=idx%(len(answer))
    if len(answer)==1:
        print(answer.pop(idx),end=">")
    else:
        print(answer.pop(idx),end=", ")
    idx-=1
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Algorithm

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