[BOJ]10830. 행렬 제곱

문제:

크기가 N*N인 행렬 A가 주어진다. 이때, A의 B제곱을 구하는 프로그램을 작성하시오. 수가 매우 커질 수 있으니, A^B의 각 원소를 1,000으로 나눈 나머지를 출력한다.

입력:

첫째 줄에 행렬의 크기 N과 B가 주어진다. (2<=N<=5, 1<=B<=100,000,000,000)

둘째 줄부터 N개의 줄에 행렬의 각 원소가 주어진다. 행렬의 각 원소는 1,000보다 작거나 같은 자연수 또는 0이다.

출력:

첫째 줄부터 N개의 줄에 걸쳐 행렬 A를 B제곱한 결과를 출력한다.

풀이방법:

B의 최대 크기가 100,000,000,000인 만큼 효율적인 계산 방법이 필요한 문제다. 따라서 다음과 같은 규칙에 의해서 계산을 한다.

 

A^N일 때,

if N이 짝수라면, (A^2)^(N/2)로 수정한다.

if N이 홀수라면, (A^(N-1))*A로 수정하고, A는 answer에 곱한다.

N이 1이 될 때까지 위를 반복하고, 1이면 그 때의 A를 answer에 곱한다.

 

위와 같이 계산을 한다면 지수가 log2단위로 줄어들기 때문에 최대 100,000,000,000번 연산이 최대 36번으로 줄어들게 될 것이다. 

n,b = map(int,input().split())
 
def matmul(A,B):
    result = [[0]*len(A) for _ in range(len(B))]
    for i in range(len(A)):
        for j in range(len(B)):
            for k in range(len(A[0])):
                result[i][j] += A[i][k]*B[k][j]
                result[i][j] %= 1000
    return result
            
matrix = []
for _ in range(n):
    matrix.append(list(map(int,input().split())))
    
answer = [[1 if i==j else 0 for i in range(n)] for j in range(n)]
 
while b !=1:
    temp = matrix[:]
    if b%2:
        answer = matmul(answer,temp)
        b-=1
    else:
        matrix = matmul(temp,temp)
        b//=2
 
answer = matmul(answer,matrix)
for ans in answer:
    print(*ans)

문제링크:

https://www.acmicpc.net/problem/10830